10.Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 248’deki 11.Sıra sizde sorusun çözerek rasyonel referans fonksiyonu olarak adlandırılanfonksiyonunun nitel özelliklerini tekrar etmiş olacağız. Bu fonksiyon sıfır hariç tüm gerçek sayıları çarpmaya göre tersine çevirir. Yani 2 için 1/2, -3 için -1/3 gibi değerler alır.
Bu fonksiyonun grafiğini çizmek, artan–azalan özelliğini belirlemek, bire bir/örten olup olmadığını anlamak ve tek–çift fonksiyon özelliklerini keşfetmek, fonksiyon konusunu sağlam öğrenmek isteyen her öğrenci için önemli bir adımdır.
Sayfa 248’deki 11. “Sıra Sizde” sorusu da bu temel özellikleri test eden bir uygulamadır. Aşağıda bu sorunun çözümünü adım adım inceleyeceksiniz.
10.Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 248 Sıra Sizde 11 Cevapları-Çözümleri – MEB Yayınları
Rasyonel referans fonksiyonu, gerçek sayılarda (x ≠ 0) şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyon sıfır hariç her sayıyı çarpmaya göre tersine çevirir. Yani bir sayının çarpmaya göre tersini verir. Örneğin 2’nin tersi 1/2, −5’in tersi −1/5’tir. Bu yüzden bu fonksiyon matematikte oldukça temel ve öğretici bir örnektir.
Öncelikle artan–azalan durumuna bakalım. Fonksiyonun tanım kümesi iki parçadan oluşur: (−∞, 0) ve (0, +∞). Pozitif sayılarda düşünelim. x büyüdükçe 1/x küçülür. Örneğin x=1 iken sonuç 1’dir; x=2 olunca sonuç 1/2 olur; x=10 olunca 1/10 olur. Yani x artarken fonksiyon değeri azalır. Demek ki (0, +∞) aralığında azalan bir fonksiyondur. Negatif sayılarda da benzer durum vardır. x değerleri −5’ten −2’ye, oradan −1’e doğru büyürken sonuçlar −1/5, −1/2 ve −1 olur. Yani yine x arttıkça fonksiyon değeri azalır. Bu nedenle fonksiyon hem (−∞, 0) hem de (0, +∞) aralığında azalandır.
Şimdi bire bir olup olmadığına bakalım. Bir fonksiyonun bire bir olması demek, farklı x değerlerinin farklı sonuçlar vermesi demektir. 1/x fonksiyonunda iki farklı sayının tersi aynı olamaz. Çünkü 1/x1 = 1/x2 ise buradan x1 = x2 çıkar. Yani fonksiyon bire birdir.
Tek–çift durumunu inceleyelim. Bunun için f(−x) ile f(x)’i karşılaştırırız. f(−x) = 1/(−x) = −1/x olur. Bu da −f(x)’e eşittir. Yani f(−x) = −f(x). Bu özellik tek fonksiyonların özelliğidir. Demek ki 1/x fonksiyonu tek fonksiyondur. Grafiği orijine göre simetriktir.
Örten olup olmadığına bakalım. Fonksiyonun değer kümesi de sıfır hariç tüm gerçek sayılardır. Gerçekten de sıfır dışında herhangi bir y sayısı için x = 1/y seçilirse f(x) = y olur. Yani her değerin bir karşılığı vardır. Bu nedenle fonksiyon örtendir.
Son olarak maksimum ve minimum değer durumunu inceleyelim. x sıfıra yaklaştıkça fonksiyon değeri çok büyür ya da çok küçülür. x büyüdükçe fonksiyon değeri sıfıra yaklaşır ama hiçbir zaman sıfır olmaz. Bu yüzden en büyük ya da en küçük değeri yoktur. Maksimum ve minimum noktası bulunmaz.
Özetle 1/x fonksiyonu iki ayrı aralıkta azalan, bire bir, tek ve örtendir; ayrıca maksimum ve minimum değeri yoktur. Bu fonksiyon grafik yorumlama ve fonksiyon özelliklerini anlama açısından çok önemli bir örnektir. Temelini sağlam öğrenirseniz ileride fonksiyonlar konusunda büyük avantaj sağlarsınız.
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları)