7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimleri

7. Sınıf Matematik

Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli (TYMM) Uyumlu Konu Özeti

1. Tema • Sayılar ve Nicelikler (1)

MAT.7.1.2

Gerçek yaşam durumlarında rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini yansıtabilme

Bu öğrenme çıktısında ne öğreneceğiz?

Bu bölümde rasyonel sayılar ile ondalık gösterimler arasındaki ilişkiyi kuracağız. Bir rasyonel sayıyı bölme işlemiyle ondalık gösterime çevirecek, ondalık gösterimin sonlu mu yoksa devirli mi olduğunu anlayacak ve ondalık gösterimleri yeniden rasyonel sayı biçiminde yazacağız.

Ana fikir: Her rasyonel sayının bir ondalık gösterimi vardır. Bu gösterim ya sonlu olur ya da belirli rakamlar sonsuza kadar tekrar eder.

1. Rasyonel sayıdan ondalık gösterime geçiş

Bir rasyonel sayının ondalık gösterimini bulmanın temel yolu payı paydaya bölmektir.

15=1 ÷ 5=0,2

18=1 ÷ 8=0,125

13=1 ÷ 3=0,3

İlk iki örnekte bölme işlemi bir noktada biter. Üçüncü örnekte ise 3 rakamı sonsuza kadar tekrar eder.

2. Sonlu ve devirli ondalık gösterim

Sonlu ondalık gösterim: Virgülden sonra belirli sayıda basamak yazıldıktan sonra biten gösterimdir. Örneğin 0,2; 0,125; 1,57.

Devirli ondalık gösterim: Virgülden sonra bir rakamın veya rakam grubunun sonsuza kadar düzenli biçimde tekrar ettiği gösterimdir.

0,3 • 0,18 • 2,14

Dikkat: Devir çizgisi yalnızca tekrar eden rakamların üzerine konur. Örneğin 2,14 sayısında devir çizgisi yalnız 4’ün üzerindedir; 1 tekrar etmez.

3. Sonlu mu, devirli mi? Paydayı incele

Rasyonel sayı önce en sade hâline getirilir. Sonra paydanın asal çarpanlarına bakılır.

En sade payda	Ondalık gösterim	Örnek
Yalnızca 2 ve/veya 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa	Sonlu	340, çünkü 40 = 2³ · 5
2 ve 5 dışında en az bir asal çarpan içeriyorsa	Devirli	512, çünkü 12 = 2² · 3

Önemli: Bu kontrol mutlaka kesir en sade hâle getirildikten sonra yapılır.

4. Paydayı 10'un kuvvetine dönüştürme

Payda yalnızca 2 ve 5 çarpanlarından oluşuyorsa kesri genişleterek paydayı 10, 100, 1000, ... biçimine getirebiliriz.

18 = 1 × 1258 × 125 = 1251000 = 0,125

25 = 410 = 0,4

5. Sonlu ondalık gösterimden rasyonel sayıya

Virgülden sonra kaç basamak varsa paydaya 1'in yanına o kadar sıfır yazılır. Sonra kesir sadeleştirilir.

1,57=157100

0,375=3751000=38

−14,2=−14210=−715

6. Devirli ondalık gösterimden rasyonel sayıya

Ders kitabındaki kısa yöntemde pay ve payda, devreden ve devretmeyen basamaklara göre oluşturulur:

Pay: Virgül ve devir çizgisi yokmuş gibi yazılan sayıdan, devir başlamadan önceki rakamların oluşturduğu sayı çıkarılır.
Payda: Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen ondalık basamak sayısı kadar 0 yazılır.

0,3=39=13

2,8=28 − 29=269

0,17=17 − 190=845

Kontrol: 0,17 sayısında 1 devretmeyen, 7 devreden basamaktır. Bu yüzden payda 90 olur: bir tane 9, ardından bir tane 0.

7. Özel sonuç: 0,9 = 1

0,9 sayısı 1'e yalnızca “çok yakın” değildir; tam olarak 1'e eşittir. Devirli ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirelim:

0,9 = 99 = 1

Unutma: 0,9 ile 1 arasında başka bir gerçek sayı yoktur; iki gösterim aynı sayıyı temsil eder.

8. Hızlı kontrol

Bir rasyonel sayıyı payı paydaya bölerek ondalık gösterime çevirebiliyorum.
Sonlu ve devirli ondalık gösterimi ayırt edebiliyorum.
Kesri en sade hâle getirip paydanın asal çarpanlarından sonlu/devirli sonucu çıkarabiliyorum.
Sonlu ondalık gösterimi kesir biçiminde yazıp sadeleştirebiliyorum.
Devirli ondalık gösterimde devreden basamakları doğru belirleyebiliyorum.
Devirli ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirebiliyorum.
0,9 = 1 olduğunu gerekçelendirebiliyorum.

Bu çıktının sınırı: Rasyonel sayıların büyüklük bakımından karşılaştırılması ve sıralanması bir sonraki öğrenme çıktısı olan MAT.7.1.3'te ele alınacaktır.

Yazılı ve LGS için neye dikkat etmeliyim?

Özellikle devir çizgisinin hangi rakamların üzerinde olduğuna, kesrin önce en sade hâle getirilmesine ve sonlu/devirli ayrımında paydanın asal çarpanlarına dikkat et. Ondalık gösterimden rasyonel sayıya geçerken paydada kaç tane 9 ve kaç tane 0 kullanılacağını belirlemek sık hata yapılan noktadır.