9. Sınıf Matematik: Üslü ve Köklü Gösterimlerle İşlemler

9. Sınıf Matematik

Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli (TYMM) Uyumlu Konu Özeti

1. Tema • Sayılar

MAT.9.1.1

Gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleriyle yapılan işlemlere dair muhakeme yapabilme

Bu öğrenme çıktısında ne öğreneceğiz?

Bu bölümde çok büyük ve çok küçük sayıları üslü ve bilimsel gösterimle daha kullanışlı biçimde yazmayı; üslü gösterimlerle işlem yaparken ortaya çıkan örüntülerden kurallara ulaşmayı; rasyonel üs ile köklü gösterim arasındaki ilişkiyi kurmayı ve köklü gösterimlerle dört işlem yapmayı öğreneceğiz. Ayrıca kareköklü ifadelerde eşlenikten yararlanmayı ve irrasyonel sayıların yaklaşık değerlerini problem durumlarında yorumlamayı göreceğiz.

Ana fikir: Amaç kuralları yalnız ezberlemek değil; örneklerden örüntüyü görmek, genelleme yapmak ve ulaştığımız önermeleri matematiksel olarak doğrulamaktır.

1. Üslü gösterim neden kullanılır?

Astronomide gezegenler arası uzaklıklar, biyolojide hücre ve atom ölçekleri, fizikte çok büyük ya da çok küçük nicelikler uzun ondalık sayılarla yazılabilir. Üslü gösterim bu sayıları daha kısa ve işlem yapılabilir hâle getirir.

10⁶ = 1 000 000 • 10⁻⁴ = 0,0001

Bilimsel gösterim: Sıfırdan farklı bir gerçek sayı a × 10ⁿ biçiminde yazılır. Burada 1 ≤ |a| < 10 ve n ∈ ℤ olmalıdır.

4 720 000 = 4,72 × 10⁶ • 0,000035 = 3,5 × 10⁻⁵

Dikkat: 47,2 × 10⁵ sayıca doğrudur fakat bilimsel gösterim değildir; çünkü katsayının mutlak değeri 1 ile 10 arasında olmalıdır.

2. Üslü gösterimlerle işlemlerde örüntü

Üslü ifadelerde işlem yaparken tabanların ve üslerin durumuna dikkat edilir. Aşağıdaki kurallar, örneklerden görülen örüntülerin genellenmiş hâlidir.

Aynı tabanla çarpma

x^m · xⁿ = x^m+n

Aynı tabanla bölme

x^mxⁿ = x^m−n, x ≠ 0

Üssün üssü

(x^m)ⁿ = x^m·n

Çarpımın kuvveti

(xy)ⁿ = xⁿyⁿ

Sıfırıncı ve negatif üs de aynı örüntünün devamıdır:

x⁰ = 1, x ≠ 0•x⁻ⁿ = 1xⁿ, x ≠ 0

Toplama ve çıkarma farklıdır: Üsler doğrudan toplanmaz. Aynı üslü ifade ortak çarpansa katsayılar toplanır veya çıkarılır.

3 · 2⁸ + 5 · 2⁸ = (3 + 5) · 2⁸ = 8 · 2⁸

Sık yapılan hata: 2³ + 2⁴ ≠ 2⁷. Üsleri toplama kuralı çarpma işleminde geçerlidir.

3. Bilimsel gösterimlerle işlem

Çarpma ve bölmede 10'un kuvvetleri için üslü ifade kuralları kullanılır. Toplama ve çıkarmada ise önce 10'un kuvvetleri aynı hâle getirilir.

(3 × 10⁵) · (2 × 10⁻³) = 6 × 10²

3,2 × 10⁶ + 4,5 × 10⁵ = 3,2 × 10⁶ + 0,45 × 10⁶ = 3,65 × 10⁶

İpucu: Toplama-çıkarma yaparken önce kuvvetleri eşitle; çarpma-bölmede ise katsayıları ve 10'un kuvvetlerini ayrı ayrı işle.

4. Rasyonel üs ile köklü gösterim arasındaki ilişki

Ders kitabında üslü ve köklü gösterimler birbirinden ayrı iki konu gibi değil, aynı sayının farklı temsilleri olarak ele alınır. Pozitif bir gerçek sayı x ve pozitif tam sayılar m, n için:

x^mn =

\sqrt[n]{x^{m}}

= (

\sqrt[n]{x}

)^m

8²³ = (

\sqrt[3]{8}

)² = 2² = 4

Yorum: Kesrin paydası kökün derecesini, payı ise kuvveti gösterir. Böylece rasyonel üs ile köklü gösterim arasında geçiş yapabiliriz.

5. Bir köklü ifade ne zaman gerçek sayıdır?

Kökün derecesi çift ise kök içindeki ifade negatif olamaz. Kökün derecesi tek ise negatif sayılar da gerçek sonuç verir.

Çift dereceli kök

\sqrt{16}

= 4

\sqrt{−4}

gerçek sayı değildir.

Tek dereceli kök

\sqrt[3]{−8}

= −2

Çünkü (−2)³ = −8.

Çok önemli:

\sqrt{a^{2}}

= |a|. Örneğin

\sqrt{{(−5)}^{2}}

= 5; sonuç −5 değildir.

6. Köklü gösterimlerde sadeleştirme ve dört işlem

Kök içindeki tam kuvvetler uygun koşullarda kök dışına çıkarılabilir. Genel olarak b ≥ 0 için:

\sqrt{a^{2} · b}

= |a|

\sqrt{b}

Toplama ve çıkarma, ancak köklü kısımlar aynı olduğunda katsayılar üzerinden yapılabilir:

\sqrt{5}

+ 2

\sqrt{5}

= 5

\sqrt{5}

Aynı dereceli köklerde çarpma ve bölme kök içinde birleştirilebilir:

\sqrt[n]{x}

\sqrt[n]{y}

\sqrt[n]{x y}

\sqrt[n]{x}

\sqrt[n]{y}

\sqrt[n]{\frac{x}{y}}

, y ≠ 0

Sık yapılan hata:

\sqrt{2}

\sqrt{3}

ifadesi

\sqrt{5}

olmaz. Toplama işlemi kök içine alınmaz.

7. Kök dereceleri farklıysa

Farklı dereceli köklü ifadelerle çarpma veya bölme yapılırken gerekirse kök dereceleri ortak bir dereceye dönüştürülür. Bunun için derecelerin ortak katından yararlanılır.

\sqrt[3]{a}

\sqrt{b}

\sqrt[6]{a^{2} \cdot b^{3}}

(a, b > 0)

Burada 3 ve 2'nin ortak katı olan 6 seçilmiştir. İşlemi yapmadan önce kök derecelerini aynılaştırmak, hatayı azaltır.

8. Paydada kök varsa: eşlenikten yararlanma

Ders kitabında kareköklü ifadelerin eşleniği, paydadaki köklü ifadeyi rasyonel hâle getirmek için kullanılır. a + $\sqrt{b}$ ifadesinin eşleniği a − $\sqrt{b}$ şeklindedir.

(a +

\sqrt{b}

)(a −

\sqrt{b}

) = a² − b

Örneğin:

13 +

\sqrt{2}

= 3 −

\sqrt{2}

Neden çalışır? Pay ve paydayı eşlenikle çarptığımızda paydada (3 +

\sqrt{2}

)(3 −

\sqrt{2}

) = 9 − 2 = 7 elde edilir.

9. İrrasyonel sayıların yaklaşık değeri ve hata payı

Köklü bir sayı çoğu zaman sonlu bir ondalık gösterime sahip değildir. Gerçek yaşam problemlerinde bu sayıların yaklaşık değerleri kullanılabilir; ancak yaklaşık değer kullanıldığında sonucun da bir hata payı taşıdığı unutulmamalıdır.

1,41 <

\sqrt{2}

< 1,42•

\sqrt{2}

≈ 1,414

Mühendislik, ölçme veya maliyet hesaplarında gereken hassasiyet ne kadar yüksekse daha fazla ondalık basamak kullanmak gerekebilir.

10. Muhakeme zinciri: kuralı neden kullanıyoruz?

Örnekleri incele→Örüntüyü fark et→Varsayım kur→Genelle→Önerme oluştur→Problemde kullan→Doğrula

Maarif Modeli'nin bu öğrenme çıktısındaki temel beklentisi tam olarak budur. Örneğin x^m · xⁿ işleminin kuralını yalnız ezberlemek yerine birkaç açık çarpımdan hareketle neden x^m+n olduğunu açıklayabilmelisin.

11. Hızlı kontrol

Bir sayıyı bilimsel gösterim biçiminde yazabiliyorum.
Üslü gösterimlerde toplama-çıkarma ile çarpma-bölme kurallarını birbirinden ayırabiliyorum.
Negatif ve sıfırıncı üssün anlamını biliyorum.
Rasyonel üs ile köklü gösterim arasında geçiş yapabiliyorum.
Çift ve tek dereceli köklerde gerçek sayı olma koşulunu yorumlayabiliyorum.
$\sqrt{a^{2}}$ = |a| olduğunu unutmuyorum.
Köklü gösterimlerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini uygun koşullarda yapabiliyorum.
Paydadaki kareköklü ifadeyi eşlenikten yararlanarak rasyonel hâle getirebiliyorum.
İrrasyonel sayıların yaklaşık değerlerini kullanırken hata payını dikkate alabiliyorum.

Bu çıktının sınırı: Gerçek sayı aralıkları ve küme sembolleri MAT.9.1.2'de; sayı kümelerinin özellikleri MAT.9.1.3'te; gerçek sayıların işlem özelliklerinin cebirsel genellemeleri ve özdeşliklerin geniş kapsamı MAT.9.1.4'te ele alınacaktır.

Yazılı ve TYT için neye dikkat etmeliyim?

Özellikle bilimsel gösterim koşulu, negatif üs, üslü ifadelerde toplama ile çarpma kurallarının karıştırılmaması, rasyonel üs-kök dönüşümü, $\sqrt{a^{2}}$ = |a|, kök dışına çıkarma, farklı dereceli kökleri ortak derecede yazma ve eşlenik temel hata noktalarıdır. Soruda yaklaşık değer isteniyorsa “=” yerine gerektiğinde ≈ kullanmayı da unutma.